AI 驅動的經濟增長速度能有多快？大多數經濟學家預計頂多只有幾個百分點，與之前的通用技術相當（Acemoglu (2024)）。而那些更接近 AI 開發的人則傾向於想像更激進的景況（Shulman (2023); Davidson and Hadshar (2025)）。

本系列旨在將增長率建立在實體生產運作方式的基礎上。一旦人類勞動力實現自動化，增長的限制就變成了經濟體中實體資本自我複製的速度。政府的投入產出表追蹤了生產經濟中每種商品所需的完整供應鏈，我們可以使用這些表格直接計算這種自我複製率。

在本篇文章中，我計算了自動化 AI 經濟在生產集中於對自我複製最重要的部門時，所能達到的最高增長率。我在計算中採取了保守情況：完全自動化，但沒有其他技術進步。利用美國的投入產出數據，我發現這種經濟體大約一年就能翻倍，這與其他假設完全自動化的估計一致（Hanson (2001); Trammell and Korinek (2023); Davidson and Hadshar (2025); Epoch AI (2025)）。即使考慮到資源枯竭和建設滯後，這一結論依然成立。部分產出用於消費而非再投資，這會減緩速度，但即使是適度的儲蓄率也意味著翻倍時間不到兩年。

這裡計算的增長率是任何使用這些生產流程的經濟體所能達到的最高可持續增長率，無論它是從現有經濟體演變而來，還是從零開始建立。這也是一個快速增長的經濟體在長期內無論其初始構成如何，最終都會趨向的增長率。
^([1])
目前的美國經濟遠非增長最快的構成，相對於採礦業和重工業，服務業和消費品過多。在第 2 部分中，我們將探討美國在假設現有製造方法不變的情況下，實現這一轉型的速度；我們發現這一轉型需要幾年的時間。

對於那些預期 AI 除了自動化之外還能推動技術快速進步的人來說，這是一個保守的下限。在未來的篇幅中，我們將研究在技術進步的情況下這些計算會如何變化，並考慮設定增長率上限的方法。

大多數經濟學家預測 AI 只會為增長貢獻幾個百分點。如果 AI 能實現經濟的完全自動化，這些預測不僅是錯誤的，而且差了一個數量級。一旦勞動力實現自動化，快速增長的實體能力就具備了，任何資源限制或建設滯後的組合都無法消除這一差距。經濟學界對低增長的標準預測，隱含地預測了完全自動化不會發生。這可能是正確的，但這是一個關於技術而非經濟學的論斷。

本系列源於 Holden Karnofsky 發起的一個項目，Constantin Arnscheidt 和 Adin Richards 做了大量的前期工作。感謝 Holden、Constantin、Adin、Paul Christiano 和 Tom Davidson 對本文及/或該項目早期版本的評論。同時感謝 Claude Opus 4.6 和 4.7 在本項目各方面的幫助；特別是，附錄是在 AI 的大力協助下編寫的，不如正文精煉。

如果勞動力是免費的，經濟增長會非常快

假設經濟中的每一位工人都被免費的機器人或 AI 取代。那麼增長的唯一限制就是實體方面的：現有的工廠、機器和基礎設施生產更多自身的速度有多快？

製造鋼鐵需要鐵礦石、煤炭和電力；製造機械需要鋼鐵、電子產品和塑料；建造工廠需要混凝土、鋼鐵和機械。政府的投入產出表追蹤了每個行業的這些實體關係。加上每個行業需要的設備數量以及損耗速度，我們就可以計算出馮·諾依曼增長率（Von Neumann growth rate）：如果所有產出都用於再投資，經濟所能達到的最快增長率。

我們使用美國的數據進行計算：398 個部門的投入產出表、來自 BEA 固定資產的部門級資本存量和折舊，以及人口普查產能利用率調查。任何工業經濟體都有大致相似的製造流程，應該會得出類似的結果。附錄 A 提供了更多數學細節，而附錄 B 計算了其他 OECD 國家的馮·諾依曼增長率，並發現了可比的結果。

增長率取決於現有設備的利用程度。我們考慮四個基準，從目前的營運到理論最大值：

基準	描述	增長率 (yr⁻¹)	翻倍時間 (yr)
目前	調查顯示的實際營運情況。	0.61	1.1
全產能生產	工廠在現有班次安排內以全負荷運轉。不增加工時，只是在已配備人員的時段內沒有閒置機器。	0.77	0.90
緊急狀態	所有工廠轉向 24/7 全天候運作，如同戰時動員。仍包括維護、更換工具和設備冷卻所需的現實停機時間。	0.85	0.82
168 小時/週	理論最大值：每家工廠每週每小時都在運轉。沒有任何形式的停機。	1.38	0.50

一個完全自動化的機器人經濟體可能會在「緊急狀態」和「168 小時/週」基準之間運行。機器人執行維護和更換工具的速度比人類班組快，且工廠可以設計為連續運行。但某些停機時間是不可避免的：設備仍需冷卻，切削工具仍會磨損，且偶爾仍需維護。

（BEA 的折舊率是根據觀察到的資產退役年齡估計的，本質上是基於時間的：無論使用強度如何，機器每年的折舊率都相同。上述增長率以此方式處理折舊。如果折舊改為隨產出按比例縮放，則緊急利用率下的增長率將降低約 2.5 個百分點，理論最大值將降低約 9 個百分點。哪種假設更合適取決於資本類型：建築、管道和其他被動資本主要因風化和腐蝕而退化，與使用無關；而帶有移動部件的設備磨損大致與產出成正比。測算出的折舊中很大一部分也反映了技術過時而非實體磨損；由於本分析假設沒有技術進步，資產不會過時。）

AGI 使勞動力近乎免費

前一節假設勞動力字面上是免費的。在實踐中，AGI
^([2])
用資本取代了勞動力：用機器人取代體力勞動，用計算硬體取代腦力勞動。

人形機器人是最容易分析的情況，因為它們直接替代人類勞動力。它們需要的零件與汽車相似：鋼、鋁、銅、塑料和電子產品。目前它們的成本在數十萬美元左右，但它們是小批量生產，且包含大量客製化工程。特斯拉的目標是大規模生產其 Optimus 機器人，最終價格低於 20,000 美元。雖然具體目標在短期內是否現實尚不清楚，但考慮到汽車的製造成本，低於 100,000 美元的量產成本似乎是合理的。

一個接近全職工作的人形機器人每年產生的價值約為 260,000 美元（基於每小時 30 美元的工資率，工作 8,760 小時）。這是保守的估計，因為它忽略了福利、休息、管理成本和安全開支，這些因素會使僱用人類的真實成本遠高於工資率。以 30,000 美元的生產成本計算，回收期約為 6 週。

人形機器人可能不是自動化實體工作最有效的方式。例如，要實現送貨自動化，建造自動駕駛車輛比建造人形機器人司機更好。但我們關注人形機器人是作為一個保守的下限：我們知道能力足夠的人形機器人可以取代人類。目前的模型可能在靈巧性和智慧方面有所欠缺，但給定先進的人工智慧，這些問題將可以直接解決。

對於腦力勞動，類似的問題是需要多少計算硬體來取代一名知識工作者。目前一代的 8-GPU 伺服器在 FP8 精度下提供約 30 PFLOP/s 的算力，價格約為 27.5 萬美元。Carlsmith (2020) 估計 1 PFLOP/s 可能足以匹配人類大腦的表現，其可能範圍跨越四個數量級。這是實體上可能達到的算力的一個寬鬆上限；據推測，特定任務的 AI 可能（且在許多任務上已經）比人類執行得更有效率。

知識工作者每年僅工作約 2,000 小時，因此取代一名知識工作者僅需約 0.23 PFLOP/s 的持續算力。根據 Carlsmith 的中位數估計，一台伺服器可以取代一百多名知識工作者，回收期約為一週。

對於任何給定的能力水平，推理成本都在迅速下降。儘管在我們擁有完全自主的 AI 系統後，這種情況可能會繼續下去，但我假設技術保持不變。在實踐中，影響很小：下表中的「免費勞動力」欄顯示，即使勞動力不花錢，實體商品的生產仍會受到實體資本擴張的瓶頸限制，機器人和計算成本僅會略微降低最佳增長率。

將機器人和計算資本加入投入產出模型，讓我們能夠量化取代勞動力的成本在多大程度上減緩了增長。每個部門獲得與其勞動力份額成正比的額外資本需求：體力勞動者使用機器人，知識工作者使用計算硬體。運行機器人和伺服器的能源成本很小（一個機器人耗電約 1 kW；一台 8-GPU 伺服器約 10 kW），並作為對公用事業部門的額外需求包含在內。

我們現在可以計算包含機器人和計算成本的增長率：

基準	增長率：免費	增長率：中心值	增長率：10倍成本	翻倍：免費	翻倍：中心值	翻倍：10倍成本
目前	0.61	0.58	0.43	1.1	1.2	1.6
全產能生產	0.77	0.74	0.56	0.90	0.94	1.2
緊急狀態	0.85	0.82	0.63	0.82	0.85	1.1
168 小時/週	1.38	1.33	1.06	0.50	0.53	0.63

「中心值」使用 3 萬美元的機器人和 Carlsmith 的中心計算估計，而「10倍成本」假設機器人實體資本昂貴 10 倍，且取代人類腦力勞動需要 10 倍的算力。即使在悲觀情況下，經濟在目前的利用率下也能在不到兩年的時間內翻倍。

在這種平衡增長的經濟中，少數資本財部門主導了產出，因為這些是製造業和建築業大量需要的部門。以中心勞動力成本估計：

部門	目前份額	增長份額	增長 / 目前
建築業	4.7%	20%	4.2
機械	1.1%	18%	16
原金屬	0.6%	6.8%	11
汽車	1.8%	6.5%	3.6
金屬製品	1.0%	6.4%	6.4
電子產品	1.1%	5.8%	5.3
機器人製造	—	1.4%	—
計算硬體製造	—	0.2%	—

這些份額是以目前的美元計算的，不應過於字面地理解：隨著經濟重新平衡，相對價格將發生重大變化。倍數欄更具資訊性，顯示一個最大化增長的經濟體相對於現在，將大幅向機械、金屬生產和其他重工業傾斜。

資源開採不太可能顯著減緩增長

前幾節假設每個部門的資本密集度保持不變。在實踐中，快速增長迫使開採進入逐漸變差的礦床：礦石品位更低、井更深、運輸距離更長。我們通過將採礦部門（石油和天然氣、採礦及採礦支援）的資本密集度乘以倍數並重新計算增長率來探索這種影響。在中心勞動力成本估計和緊急利用率下，我們發現增長率從 0.817 yr⁻¹ 降至：

部門	2倍	5倍	10倍	20倍
石油與天然氣	0.757	0.601	0.423	0.240
煤炭開採	0.812	0.797	0.773	0.730
其他非金屬礦物	0.809	0.786	0.750	0.683
銅/鎳/鉛/鋅開採	0.815	0.808	0.798	0.778
鐵/金/銀/其他礦石	0.807	0.779	0.736	0.664
綜合	0.719	0.513	0.328	0.170

「綜合」行由石油和天然氣主導，按資本價值計算，它是迄今為止最大的採礦部門。高倍數下增長率的大幅下降是由化石燃料枯竭成本而非金屬採礦成本驅動的。

對於金屬採礦，附錄 C.1 逐一估計了金屬的資本密集度倍數。銅、鎳、鉛和鋅在最初幾次經濟翻倍過程中面臨 2-3 倍的現實倍數。鐵和其他礦石則接近 1.5 倍。從上表可以看出，這些因素導致綜合增長率降低約 0.02 yr⁻¹。但這是一個高估：它假設製造流程繼續使用相同的材料，而實際上會有許多節約或尋找更便宜資源替代的機會。

化石燃料的枯竭可能會構成更實質性的問題。大約一半的可採石油已經被開採，剩餘儲量的開採成本正變得越來越高。建立使經濟增長四倍所需的資本存量將基本耗盡石油儲量（限制因素是建立資本所需的累計開採量，而不僅僅是生產流量；見 附錄 C.2 的推導）。煤炭在地理上不受限制，但大規模燃燒煤炭對氣候來說將是災難性的。這些問題可能需要轉向遠離化石燃料，這在 附錄 C.3 中進行了建模。純電氣化電網的增長速度不會比依賴化石燃料的電網慢多少，且隨著技術進步，差距正在縮小。

在緊急利用率和中心勞動力成本下，完全電氣化下的馮·諾依曼增長率為：

技術	增長率 (yr⁻¹)
化石燃料基準	0.82
化石燃料 + 5倍油氣成本	0.60
太陽能 + 4小時電池 (2030 成本)	0.56
核能 (2030 成本)	0.60

再生能源選項比化石燃料基準慢，但與考慮到枯竭成本後的化石燃料表現相當。

建設滯後不會阻止快速增長

新資本需要時間才能產生經濟價值。商品可能需要幾個月的時間才能運輸到具有經濟效益的地點，而工廠和其他建築可能需要數年時間才能投入營運。前幾節中使用的資本密集度值已經根據現行利率計入了這種等待時間：工廠需要兩年才能建成的部門，其每美元產出的測算資本會更高，因為投資者在建設期間鎖定了資金。例如，在 5% 的資本成本下，兩年的滯後會使有效資本成本增加約 10%。

在馮·諾依曼增長率下，等待的機會成本要大得多。如果經濟以 0.8 yr⁻¹ 的速度增長（10 個月翻倍），投入到兩年建設項目的資本在作為在建工程期間，將錯失超過一倍的產出。我們通過根據每種商品的生產滯後所產生的額外機會成本（增長率與測算成本中已包含的利率之間的差距）來膨脹其資本需求，從而計算自洽的增長率。由於更快的增長使滯後成本更高，進而減緩增長，模型會收斂到低於零滯後率的一個固定點。

為簡單起見，我們將資本分為建築商品和其他所有商品，允許這兩者有不同的滯後。在中心勞動力成本估計和緊急利用率下，我們發現：

設備滯後	建築：0 yr	建築：0.25 yr	建築：0.50 yr	建築：1.00 yr	建築：2.00 yr
0 yr	0.82	0.76	0.70	0.62	0.50
0.10 yr	0.78	0.73	0.68	0.60	0.49
0.25 yr	0.73	0.69	0.65	0.58	0.48
0.50 yr	0.66	0.63	0.60	0.55	0.47

巧合的是，該表幾乎是對稱的，因為在最佳增長軌跡上，建築資本和非建築資本的權重致相等。

現實的滯後有多大？對於商品和設備，考慮到運輸時間、安裝和調試，幾週到幾個月的平均滯後似乎是合理的。

建築滯後更重要，也更難壓縮。目前大型工業設施的最佳實踐是大約六個月的建設時間（例如，特斯拉上海超級工廠僅用 168 天建成），儘管大多數工廠需要一到兩年。設備前置時間從標準機械的幾週到專業設備的一年以上不等。一個擁有 24/7 施工隊伍和 AI 優化物流的機器人經濟體，可以合理地將建築工期壓縮到三到六個月。

有效滯後大約是建設時間的一半，因為資本是在建設過程中逐步投入的：如果一家工廠需要六個月完成，第一批材料被鎖定六個月，但最後一批在完工前才安裝，因此平均每單位資本等待約三個月。在三到六個月的建設工期下，有效滯後大約為兩到三個月。

消費並不排除快速增長

上述增長率假設所有產出都用於再投資。在實踐中，人們會消費。在等彈性效用和貼現率 $\rho$ 下，拉姆齊最佳增長率 (Ramsey optimal growth rate) 為：

$$g = \frac{\lambda^* - \rho}{\eta}$$

其中 $\lambda^$ 是馮·諾依曼增長率，$\eta$ 是邊際效用彈性。在穩定的環境中，$\rho$ 相對於 $\lambda^$ 很小，儲蓄率大約降低到 $1/\eta$。但由自主 AI 驅動的快速增長可能不是一個穩定的環境：如果存在風險、政治動盪或災難性中斷的可能性很高，$\rho$ 可能會大到足以產生影響。

與確定性增長問題相關的 $\eta$ 估計值（其中僅涉及跨期替代，而非風險規避；見 Elminejad, Havránek, and Irsova (2025) 的綜述）範圍從 1 到 2。Chetty (2006) 從勞動力供給彈性中發現 $\eta \approx 1$，並認為 $\eta > 2$ 很難解釋。Drupp et al. (2018) 調查了 200 多位經濟學家關於校準拉姆齊模型的情況，發現眾數響應為 1，平均值為 1.35。

拉姆齊模型描述的是單一計劃者為孤立經濟體做出的選擇。在實踐中，企業競爭市場份額，國家競爭地緣政治力量，個人競爭地位。當資本回報率很高時，任何這些參與者都可以在幾年內通過複利超越那些不那麼積極的投資者。例如，如果兩個國家初始規模相等，增長率均為 0.80 yr⁻¹，但一個國家儲蓄所有產出，另一個國家儲蓄 50%，那麼 2 年後，前者的產量將是後者的兩倍。

總結

下表顯示了隨著每個模型元素的加入，在四個產能利用率基準下的增長率：

	目前	全產能	緊急狀態	168 小時/週
免費勞動力	0.61	0.77	0.85	1.38
+ 勞動力成本	0.58	0.74	0.82	1.33
+ 2倍採礦、化石燃料成本	0.52	0.66	0.72	1.26
+ 滯後	0.46	0.56	0.60	0.99
拉姆齊儲蓄	0.24	0.31	0.34	0.59

勞動力成本假設使用 3 萬美元的機器人和 Carlsmith 的中心計算估計。2 倍採礦倍數考慮了礦石品位下降以及用更資本密集型的再生能源電網取代化石燃料的需求。假設設備的平均滯後為 1 個月，建築為 6 個月。在這些假設下，緊急利用率下的馮·諾依曼增長率為 0.60 yr⁻¹，168 小時/週利用率下為 0.99 yr⁻¹，分別對應 1.2 年和 8 個月的翻倍時間。一個自動化的機器人經濟體可能會在兩者之間翻倍。

實際增長率會更低，因為部分產出用於消費。由於上述討論的原因，降低多少尚不確定。作為說明，在 $\eta = 1.5$ 和 $\rho = 0.05$ 下的拉姆齊儲蓄，在緊急利用率下的增長率為 0.34 yr⁻¹，在 168 小時/週下為 0.59 yr⁻¹，翻倍時間分別約為 2 年和 1.2 年。這一切都不包括除了自動化人類勞動力所需的技術進步之外的任何技術改進。

附錄 A：投入產出公式

A.1 物質平衡恆等式

投入產出分析的基本思想是將經濟劃分為若干部門，然後詢問：每個部門生產多少，以及這些商品流向何處？我們將每個部門的產出表示為一個向量 $y$，其中 $y_i$ 是部門 $i$ 的產出。

原則上，你可以為經濟中的每一種不同商品設立一個部門，並以實體單位追蹤產出——鋼鐵的噸數、電力的千瓦時、卡車的數量。在實踐中，追蹤每年生產的數百萬種產品是不現實的，因此我們將它們匯總為部門。匯總通常以美元進行，因此 $y_i$ 以美元/年衡量。

每一單位的產出都流向以下幾種用途之一：

• 中間投入。 用於生產其他商品的商品。例如，製造汽車消耗鋼鐵，冶煉鋼鐵消耗電力。

• 新資本形成。 作為生產設備安裝的商品。例如，螺栓固定在工廠地板上的車床。

• 折舊更換。 更換已磨損的資本。例如，一輛新卡車更換一輛退役卡車。

• 家庭消費。 由人而非工業消耗的商品。例如，在超市購買的食物。

• 出口。 銷往國外而非國內使用的商品。例如，運往歐洲的汽車。我們假設是一個封閉經濟體，因此出口始終為零。

在數學上，我們將其寫為：

$$y_i = \sum_j A_{ij} y_j + \sum_j B_{ij} \dot{y}j + \sum_j \Delta{ij} y_j + c_i + e_i$$

其中：

• $A_{ij}$ 是每美元部門 $j$ 產出所消耗的商品 $i$ 的美元價值。例如，（鋼鐵，汽車製造）的條目給出了每生產一美元汽車需要多少美元的鋼鐵。

• $B_{ij}$ 是每美元部門 $j$ 年產出所需的資本商品 $i$ 的美元存量。以增長率 $g$ 增長的部門每單位新產能需要 $g y_j$ 單位商品 $i$，因此 $B_{ij} \dot{y}_j$ 給出了流入新資本的商品總流量。

• $\Delta_{ij} y_j$ 是每年的折舊更換流量。這是通過將 $B_{ij}$ 與每種商品的折舊率 $\delta_i$ 相結合而構建的，折舊率隨資產類別而異（車輛比建築磨損快），因此對於任何單個標量 $\delta_i$，$\Delta_{ij} = \delta_i B_{ij}$。

• $c_i$ 是家庭消費。在平衡增長計算中，$c_i$ 被設置為零（所有產出再投資）或產出的固定小份額（拉姆齊儲蓄）。

• $e_i$ 是出口。我們假設是一個封閉經濟體，因此 $e_i$ 始終為零。

A.2 平衡增長路徑與 Perron 特徵值

我們想要找到經濟所能達到的最快增長率。如果我們設置 $c = 0$ 且 $e = 0$——再投資所有產出並忽略貿易——那麼我們可以將物質平衡重新排列為一個動力系統：

$$(I - A - \Delta) y = B \dot{y}$$

我們想要找到增長最快的解。事實證明這是一條平衡增長路徑，其中每個部門都以相同的恆定速率 $g$ 增長：

$$y(t) = y_0 e^{gt}$$

這裡 $y_0$ 是一個固定向量，給出了每個部門的相對規模。我們將其代入物質平衡，得到一個廣義特徵值問題：

$$(I - A - \Delta) y_0 = g B y_0$$

根據 Perron-Frobenius 定理，這有一個唯一的最大特徵值 $\lambda^$，對應一個嚴格正的特徵向量 $y^_0$。特徵值 $\lambda^$ 是最大增長率，而 $y^_0$ 是唯一能維持該增長率的部門構成——即馮·諾依曼射線 (Von Neumann ray)，遵循 von Neumann (1945) 和 Leontief (1951) 的投入產出傳統。

A.3 建設滯後

在物質平衡方程中，資本商品被視為瞬時安裝的：在時間 $t$ 生產的一美元商品 $i$ 在時間 $t$ 進入資本存量。實際上，資本需要時間運輸、安裝和調試。在時間 $t$ 交付的工廠建築是在時間 $t - \tau_i$ 開始建造的，其中 $\tau_i$ 是建設時間。在那 $\tau_i$ 年中，材料作為在建工程閒置，對當前產出沒有貢獻。

我們將其建模為所生產商品的純延遲：生產滯後 $\tau_i$ 是商品 $i$ 的屬性，而不是使用它的行業 $j$ 的屬性。無論工廠建築是用於化工廠還是電子廠，其建造時間都是相同的。在時間 $t$ 生產的一單位商品 $i$ 在時間 $t + \tau_i$ 投入使用，因此物質平衡變為：

$$(I - A - \Delta) y(t) = \sum_j B_{ij} \dot{y}_j(t + \tau_i)$$

在平衡增長路徑 $y(t) = y_0 e^{gt}$ 上，我們可以展開：

$$\dot{y}j(t + \tau_i) = g y{0,j} e^{g(t + \tau_i)} = g e^{g \tau_i} y_j(t)$$

因此定義 $T = \text{diag}(e^{g \tau_1}, \dots, e^{g \tau_n})$，特徵值問題變為：

$$(I - A - \Delta) y_0 = g T B y_0$$

這是一個關於 $g$ 的固定點問題，而不是線性特徵值問題：右側的矩陣取決於特徵值本身。我們通過迭代求解：猜測 $g$，計算 $T$，求解產生的 Perron 問題以獲得更新的 $g$，並重複直到收斂。

在實踐中，我們使用兩個滯後值：建築商品（NAICS 23，結構和建築——約佔 $B$ 總價值的 49%）使用 $\tau_{struct}$，其他所有商品使用 $\tau_{equip}$。因此 $T$ 是一個二元對角矩陣，在建築行條目為 $e^{g \tau_{struct}}$，在其他地方為 $e^{g \tau_{equip}}$。

建設滯後作為超過現行利率 $r$ 的機會成本進入模型，而利率 $r$ 已經嵌入在測算的資本密集度 $B$ 中。因此膨脹因子應該是 $e^{(g-r)\tau}$，而不是 $e^{g\tau}$，這樣當 $g=r$ 時滯後就不會產生約束。然而，在實踐中，馮·諾依曼增長率遠高於實際利率，因此我們可以忽略這一影響。

A.4 數據來源

中間投入矩陣 $A$

我們使用 2017 年版的 BEA 供應-使用表 詳細層級數據。使用表記錄了每個行業在給定年份消耗每種商品作為中間投入的美元價值。它是一個長方形矩陣，行是商品，列是行業；列總計包括增加值（報酬、營業盈餘總額、生產稅），行總計包括最終需求（家庭消費、投資、政府、出口）。

為了建立一個正方形的技術矩陣，我們僅限於同時作為行業代碼出現的 398 個商品代碼（其中商品及其主要生產行業都在詳細層級被追蹤）。令 $U_{ij}$ 為行業 $j$ 使用的商品 $i$ 的美元價值，令 $y_j$ 為行業 $j$ 的總產出。技術係數為：

$$A_{ij} = U_{ij} / y_j$$

即每美元行業 $j$ 產出所消耗的商品 $i$ 的美元價值。這是標準的 Leontief 結構：$A$ 捕捉了根據每種其他商品生產每種商品的配方。

資本需求矩陣 $B$

資本矩陣 $B$ 記錄了每美元行業 $j$ 產出中，有多少美元的商品 $i$ 被體現為生產性資本。構建 $B$ 需要兩個要素：每個行業的資本密集度（每美元產出的固定資產投資 PP&E）以及該資本的商品構成（PP&E 是由什麼組成的）。

資本密集度 $k_j$ 來自 BEA 固定資產表，該表按行業報告了私人固定資產的當前成本淨額。固定資產數據是以比詳細 IO 表更粗略的摘要層級（約 70 個行業）報告的，因此每個詳細部門繼承其所屬摘要部門的資本密集度。我們計算 $k_j = K_j / Y_j$，其中 $K_j$ 是來自固定資產表 3.1E 和 3.1S 的設備和結構淨額之和，$Y_j$ 是來自 BEA 摘要使用表的摘要層級總產出。

對於資本的商品構成，我們使用 BEA 詳細非住宅固定資產表，該表將每個行業的資本存量細分為大約 60 種資產類型——特定類別的設備（金屬加工機械、電腦、卡車、輸電設備）和結構（製造大樓、商業倉庫、公用事業基礎設施）。我們使用 BEA 資產代碼與詳細商品分類之間的對應關係，將每種資產類型映射到生產它的 IO 商品。例如，資產代碼 ET11（汽車）映射到商品 336112（輕型卡車和多用途車），資產代碼 EP1A（大型電腦）映射到商品 334111（電子電腦）。

對於具有資本密集度 $k_j$ 的給定行業 $j$，其資本存量中每種資產類型的份額 $s_{mj}$ 決定了每美元產出中體現了多少商品 $i$。具體來說，如果行業 $j$ 的資本中有比例 $s_{mj}$ 屬於資產類型 $m$，且資產 $m$ 映射到商品 $i$，則 $B_{ij} = k_j s_{mj}$。當特定行業沒有詳細的資產構成數據時，我們退而使用根據使用表的最終需求列（非住宅設備和結構投資，BEA 代碼 F02E00 和 F02S00）構建的經濟平均投資構成向量 $s_{avg}$。

折舊矩陣 $\Delta$

折舊矩陣 $\Delta$ 記錄了每年的折舊更換需求：為了更換行業 $j$ 中磨損的資本，每年必須生產多少美元的商品 $i$（按 $j$ 的每美元產出計）。它具有與 $B$ 相同的結構，但應用的是資產類型級別的折舊率，而非單一的混合比率。

折舊率來自固定資產表 3.4E（設備折舊）和 3.4S（結構折舊）。設備通常每年折舊 10-20%；結構每年折舊 2-4%。我們為每個摘要行業計算單獨的設備和結構折舊率，然後在構建 $\Delta$ 時將這些比率應用於相應的資產類別。對於在資產類型 $m$ 中擁有比例 $s_{mj}$ 資本且折舊率為 $\delta_m$ 的行業 $j$：

$$\Delta_{ij} = k_j s_{mj} \delta_m$$

這種資產級別的處理很重要，因為不同行業的設備與結構比例差異很大。公用事業的大部分資本是長壽命的結構（發電廠、輸電線路），折舊率約為 3%，而電子製造業的大部分資本是短壽命的設備，折舊率超過 15%。每個行業單一的混合折舊率會忽略這一區別。

政府基礎設施

私人固定資產忽略了私人工業所依賴的公共基礎設施——公路、供水系統和公有電力設施。我們將這些作為額外的資本需求加入，分配給使用它們的行業：

• 公路和街道資本（4.9 兆美元）按各行業使用運輸服務的比例（$A$ 的運輸行之和）進行分配。

• 供水和污水處理資本（1.5 兆美元）按公用事業使用比例分配。

• 公共電力設施資本（0.7 兆美元）分配給公用事業部門本身。

這些增加使總資本存量從約 27 兆美元（僅私人 PP&E）增加到約 34 兆美元。

產能利用率

基準模型使用目前的資本生產率——即每個行業每美元安裝資本實際生產多少產出。但大多數工廠並未滿負荷運轉。一家工廠可能每天運行一個班次，每週五天，其產量遠低於如果連續運行所能提供的產量。

我們使用來自人口普查局工廠產能季度調查 (QPC) 的數據，該調查報告了製造業的兩個利用率基準：

• 全產能生產利用率：在正常市場條件下，利用最大實際投入水平，工廠可以持續運作的產能比例。這消除了當前產出與現有班次安排和設備在不延長工時的情況下所能提供的產出之間的差距。

• 緊急狀態利用率：在緊急情況下，取消所有工時和排班限制後可實現的最大產出。這對應於戰時風格的 24/7 運作，仍包括現實的維護停機時間。

QPC 還報告了平均每週工廠工時，我們用它來計算第三個基準：168 小時/週利用率，即如果每家工廠每週每小時都在運轉且完全沒有停機時間的理論最大值。

對於非製造業部門（採礦、公用事業、建築），QPC 並不適用。我們補充了聯準會 G.17 產能利用率數據（採礦業 85%，公用事業 73%）和 BLS 當前就業統計數據中的平均每週工時（採礦業 46 小時/週，公用事業 140 小時/週有效工廠工時，建築業 40 小時/週）。

利用率通過縮放資本矩陣進入模型。以利用率倍數 $u_j$ 運行的部門，利用相同的資本存量產生 $u_j$ 倍的基準產出，因此每單位產出的有效資本需求除以 $u_j$：

$$B'{ij} = B{ij} / u_j, \quad \Delta'{ij} = \Delta{ij} / u_j$$

中間投入矩陣 $A$ 保持不變：無論磨坊每週運行多少小時，一噸鋼鐵所需的實體投入仍然相同。

機器人和計算部門

為了模擬取代勞動力的成本，我們將 398 個部門的系統擴展為兩個額外的部門：機器人（部門 $r$）和計算硬體（部門 $c$），從而產生一個 400 個部門的系統。

每個原始部門 $j$ 獲得與其勞動力份額 $l_j$ 成正比的額外資本需求。勞動力份額分為體力部分 $\phi_j$（由機器人取代）和腦力部分 $1-\phi_j$（由計算硬體取代）。體力勞動比例來自 BLS 當前就業統計數據，具體為各行業生產和非監督員工與總員工的比率——這是一個不完美但可用的體力/腦力劃分指標。

每美元部門 $j$ 產出的額外資本需求為：

$$B_{rj} = l_j \phi_j k_{robot}, \quad B_{cj} = l_j (1-\phi_j) k_{compute}$$

其中 $k_{robot}$ 是每美元被取代體力勞動所需的機器人資本（中心估計為 0.10，對應於約 3 萬美元的機器人取代約 4 個全職等效人力 (FTE)，每個 FTE 約 7 萬美元/年），$k_{compute}$ 是每美元被取代腦力勞動所需的計算資本（來自 Carlsmith 的中位數計算估計，為 0.02）。

機器人和計算部門需要自己的中間投入和資本。它們在 $A$ 中的中間投入列是代理製造部門的加權平均值：機器人部門平均了機械 (40%)、電子 (30%)、汽車 (20%) 和電氣設備 (10%)；計算部門僅使用電子產品。它們的資本密集度和構成也同樣採用代理平均值。

機器人和計算硬體的運行能源作為對 $A$ 中公用事業行的額外需求進入模型。一個機器人耗電約 1 kW；以每個機器人 4 個 FTE 且每個 FTE 7 萬美元/年計算，這大約是每美元每年被取代體力勞動 0.0014 美元。計算能源通過 GPU 伺服器的能源資本比（約 27.5 萬美元伺服器耗電 10 kW，或每美元計算資本每年約 0.016 美元）與 $k_{compute}$ 縮放。

附錄 B：馮·諾依曼增長率在各工業經濟體中相似

主要分析使用的是美國數據——398 個部門詳細層級的 BEA 投入產出表和 BEA 固定資產資本存量。一個自然的擔憂是結果是否具有美國特異性：也許美國的 IO 結構異常有利於自我複製，而其他工業經濟體會產生截然不同的增長率。本附錄檢查了 18 個 OECD 國家中 0.5–0.9 yr⁻¹ 結果的穩健性。

我們使用 OECD 國家間投入產出表（2023 年版） 的 45 個部門 ISIC Rev 4 分類（2018 數據年），結合來自 OECD STAN 數據庫 的部門級淨資本存量和折舊，計算了免費勞動力的馮·諾依曼增長率。方法遵循附錄 A 中的公式，但在三個方面有所不同：(1) 45 個部門而非 398 個，(2) 使用 STAN 資本存量數據而非 BEA 固定資產，(3) 投資構成來自 GFCF 最終需求而非詳細的資產行業表。

國家	$\lambda^*$ (yr⁻¹)	翻倍時間 (yr)	平均資本密集度 (k)
德國	0.39	1.8	1.91
奧地利	0.44	1.6	2.13
義大利	0.45	1.5	1.79
挪威	0.45	1.5	1.82
瑞典	0.49	1.4	1.64
日本	0.50	1.4	1.73
希臘	0.51	1.4	1.76
捷克	0.52	1.3	1.64
丹麥	0.53	1.3	1.71
美國	0.54	1.3	1.53
斯洛伐克	0.59	1.2	1.83
比利時	0.64	1.1	1.33
荷蘭	0.64	1.1	1.40
紐西蘭	0.64	1.1	1.35
芬蘭	0.66	1.0	1.69
法國	0.68	1.0	1.80
英國*	0.92	0.8	1.13
愛爾蘭*	1.14	0.6	1.11
均值 (不含離群值)	0.54	1.3	1.69

愛爾蘭的結果是跨國公司利潤轉移的產物，這相對於實際位於愛爾蘭的實體資本，誇大了測算出的產出。英國的結果似乎也因底層資本存量序列的數據質量問題而異常偏高。兩者均被排除在均值之外。

OECD 45 部門模型系統性地低估了相對於 BEA 398 部門模型的 $\lambda^*$。對於美國，OECD 模型給出的結果是 0.54 yr⁻¹，而 BEA 為 0.61 yr⁻¹——低了約 11%。這種差距的產生是因為將行業匯總為 45 個部門會平均掉高資本密集度和低資本密集度的子行業，從而失去了部門內的異質性。更精細的 IO 表可能會以類似的幅度推高國際結果，使典型的 OECD 經濟體更接近 0.6 yr⁻¹。

附錄 C：資源開採

C.1 礦產

本附錄估計了如果經濟規模是目前的 2 倍、5 倍或 10 倍（假設開採按比例縮放），採礦業的資本密集度會增加多少。

品位-成本縮放定律

每噸金屬的能源和資本投入大致與礦石品位的倒數成比例縮放，因為品位越低意味著需要處理更多的岩石。

採礦有兩個階段。採礦和選礦生產標準品位的精礦（例如，銅為 30% Cu，鐵球團為 65% Fe）。冶煉和精煉將精礦加工成金屬。冶煉成本不取決於礦石品位，因為無論如何精礦都是一樣的。採礦成本大致按 $1/grade$ 縮放：品位減半意味著處理兩倍的岩石。

兩個經驗結果界定了這一估計。Fizaine and Court (2015) 對 34 種金屬的開採能源成本與礦石品位進行了回歸，發現全供應鏈指數為 -0.60，比 $-1$ 淺，因為冶煉稀釋了採礦特有的影響。Koppelaar and Koppelaar (2016) 發現，僅就採礦和選礦而言，關係更陡峭：大約為 $-1.1$ 到 $-1.2$，因為較低的品位還需要更細的顆粒尺寸來釋放礦物。我們使用 $-1$ 作為下面縮放的基礎。它介於兩個結果之間，且具有最清晰的實體依據。

斯金納的礦物學障礙 (Skinner's mineralogical barrier)

對於地球化學稀缺金屬（銅、鎳、鈷、鋅、錫、鉛、金、銀、鉑族金屬），Skinner (1976) 認為地殼濃度是雙峰分佈的。金屬要麼以離散的礦石礦物（硫化物、氧化物）形式集中，品位大約從 0.1% 以上開始；要麼作為原子替代物分散在常見的矽酸鹽礦物中，處於地殼平均豐度，兩者之間相對較少。

在障礙之上，金屬形成不同的礦物顆粒，可以通過浮選或重力進行實體分離。在障礙之下，金屬原子被鎖定在矽酸鹽晶格中，釋放它們需要對母岩進行完全的化學破壞。能源成本預計會跳升 100-1,000 倍。

對於地球化學豐富的金屬（鐵、鋁、矽、鎂、鈦、錳），分佈是單峰的，沒有障礙。對於銅，障礙被認為在 0.1% Cu 左右。

鐵

鐵礦石品位為 30-65% Fe，儲量為 1,900 億噸原礦（含鐵量 880 億噸），而年開採量為 25 億噸 (USGS MCS (2025))，資源量超過 8,000 億噸。最好和最差鐵礦石之間的品位差異僅約 2 倍（30% 對 65% Fe），因此即使開採量增加 10 倍，資本密集度增加最多也只有 1.4 倍。在任何合理的縮放因子下，鐵在地理上都不受限制。

鋁（鋁土礦）

鋁是地殼中最豐富的金屬，質量佔比約為 8%。儲量為 290 億噸，資源量為 550-750 億噸，而年開採量約為 4.5 億噸 (USGS MCS (2025))。USGS 指出，大多數產鋁國在粘土、斜長岩和燃煤飛灰中擁有「本質上取之不盡的次經濟資源」。鋁的約束因素是冶煉能源（通過 Hall-Heroult 工藝每噸金屬約需 15 MWh），而非地質。鋁土礦的品位下降即使在大規模情況下也很適度。

銅

銅是品位下降影響最大的金屬。平均開採品位已從 1900 年的約 2% Cu 下降到今天的約 0.5%。目前產量約為每年 2,300 萬噸含銅量。儲量為 9.8 億噸，已探明資源量約 21 億噸，總資源量（包括未發現的）估計為 50-60 億噸 (USGS MCS (2026); Singer (2017))。

銅的品位-噸位關係特徵明確。Gerst (2008) 為四種礦床類型的 17.78 億噸可採銅構建了累計品位-噸位曲線。Northey et al. (2014) 發現開採品位正接近約 0.49% Cu 的平均資源品位：容易的高品位開採已基本結束。Calvo et al. (2016) 記錄了智利銅礦在十年內（2003-2013）品位下降了 25%，同時能源消耗增加了 46%。常規選礦和浮選的實際底線約為 0.2% Cu；低於約 0.1% 時，斯金納的礦物學障礙就會顯現。

幾乎所有開採出來的銅仍在使用於建築、基礎設施和設備中。因此，資本存量翻倍需要累計開採量大約翻倍。在 2 倍經濟下，累計銅開採量從歷史上的 8 億噸翻倍至 16 億噸。根據品位-噸位曲線，邊際品位下降至約 0.37% Cu，按 $1/grade$ 縮放，採礦資本密集度上升 $1.4 \times$。在 5 倍經濟下，邊際品位降至約 0.25% Cu，密集度上升 2.0 倍。在 10 倍經濟下，累計開採量超過 50 億噸，邊際品位接近約 0.15% Cu 的礦物學障礙，密集度上升約 3.3 倍。此時平滑外推法可能會失效。

鋁是主要的替代品。鋁的單位截面積導電率為銅的 61%，但密度僅為銅的三分之一，因此鋁導體在截面積約為 1.6 倍、重量為一半的情況下可以承載相同的電流。大多數架空輸電線路已經是鋁製的。鋁繞組電機和變壓器的體積和重量約為同等產出的 1.3 倍，這對於大多數工業用途來說是可以接受的。由於鋁在地理上不受限制，銅的稀缺性有一個有效的上限：在銅價足夠高時，大多數電力應用將轉向鋁，代價是適度的體積和重量增加。

鎳

全球鎳產量約為每年 370 萬噸，儲量為 1.3 億噸，資源量超過 3.5 億噸。兩類礦床定義了供應：硫化礦（1-3% Ni，地下開採，常規浮選）和紅土礦（0.8-1.5% Ni，露天開採，酸浸或火法冶金加工）。印尼現在利用紅土礦生產全球約 60% 的鎳。

Priester et al. (2019) 發現，在他們研究的九種金屬中，鎳的品位集中度最差：總鎳資源中僅有 1.7% 處於最高品位分位數，而鐵、鉑族金屬和鋅為 15-20%。在 2 倍經濟下，向紅土礦加工的持續轉變伴隨著適度的品位下降，資本密集度上升約 1.5 倍。在 5 倍經濟下，需要 0.7% Ni 的邊際紅土礦，密集度上升約 2.5 倍。在 10 倍經濟下，深海結核（僅克拉里昂-克利珀頓區就含有約 2.7 億噸鎳）變得相關，並可能將密集度保持在 4 倍以下。

鋰

鋰儲量為 3,000 萬噸，資源量約 1.15 億噸，而年開採量僅為 24 萬噸 (USGS MCS (2025))。儲量壽命約為 125 年。在 10 倍需求下，資源壽命仍約為 48 年。每噸資本密集度在 5 倍前大致持平，在 10 倍時適度上升。

鈷

鈷幾乎完全是銅和鎳開採的副產品，無法獨立於其宿主金屬進行縮放。儲量為 1,100 萬噸，年開採量約 29 萬噸 (USGS MCS (2025))。LFP 正極不含鈷且已佔據顯著市場份額，高鎳 NMC 正極（NMC 811, NMC 9½½）正逐步減少鈷含量，因此隨著電池化學的演變，這一地質約束可能會變得無關緊要。

錳

儲量為 17 億噸，品位 35-54% Mn，年產量約 2,000 萬噸，深海海底擁有大量額外資源。相對於需求，錳在地質上與鐵一樣豐富。在任何合理的經濟規模下，資本密集度縮放都可以忽略不計。

稀土元素 (REE)

2024 年全球稀土產量達到約 39 萬噸 REO，儲量超過 9,000 萬噸 (USGS MCS (2025))。稀土總量不是限制因素；問題在於平衡問題。稀土元素在地質上以固定比例共生，而有價值的磁體元素（釹 Nd、鐠 Pr、鏑 Dy、鋱 Tb）僅佔 REO 總量的一小部分。鏑是最具約束力的元素：對於高溫 NdFeB 永磁體（佔磁體質量的 2-4%）至關重要，主要來源於中國南方和緬甸的離子吸附型粘土。在 5-10 倍的磁體需求下，為了獲得足夠的鏑，需要開採遠超市場對其他稀土吸收能力的 REO 總量。在後 AGI 經濟中，你開採獲得足夠鏑所需的所有 REO，並將其餘部分儲存或丟棄；成本是開採和加工你實際需要的鏑質量的 50-100 倍。替代方案（鐵氧體磁體、無稀土電機）雖然存在，但會帶來顯著的性能損失：鐵氧體磁體的能量密度約為 NdFeB 的十分之一。

鉑族金屬 (PGM)

全球鉑族金屬產量僅為每年 450-500 噸，集中在三個礦床（南非布什維爾德雜岩體、俄羅斯諾里爾斯克、辛巴威大岩牆）。銥對於 PEM 電解槽至關重要（約 400 kg/GW），全球年產量僅 7-8 噸。在 5 倍以上縮放時，鉑族金屬對特定應用構成嚴重約束。鹼性電解槽（不需要鉑族金屬）提供了一條替代路徑。

深海採礦

深海平原上的多金屬結核代表了幾種受限金屬的大量額外資源。僅克拉里昂-克利珀頓區 (CCZ) 估計就含有 210 億噸結核，其中約有 59.5 億噸錳、2.7 億噸鎳、2.3 億噸銅和 0.5 億噸鈷 (ISA Technical Study 6 (2010); Hein and Mizell (2022))。對於鎳和鈷，CCZ 超過了陸地總儲量。

結核位於 4-6 公里深的海底表面，由真空吸起並通過管道輸送到水面船隻的車輛收集。不需要剝離覆蓋層、鑽孔或爆破。截至 2025 年，尚未發生商業化深海採礦；約束因素是監管（國際海底管理局尚未敲定開發規則）而非技術。深海結核未出現在摘要表的資本密集度估計中，該估計僅基於陸地資源。

總結表

下表估計了在 2 倍、5 倍或 10 倍當前經濟規模下，基於 $1/grade$ 縮放和品位-噸位數據（如果可用），每噸金屬的採礦資本密集度會增加多少。這些不考慮技術進步、替代或深海採礦。

金屬	儲量壽命 (yr)	2倍	5倍	10倍	備註
鐵	76	1.0×	1.2×	1.4×	豐富；受基礎設施限制
鋁	64	1.0×	1.2×	1.4×	豐富；受能源限制（冶煉）
錳	85	1.0×	1.0×	1.1×	豐富；深海海底備份
鋰	125	1.0×	1.1×	1.3×	豐富；受許可限制
銅	43	1.4×	2.0×	3.3×	最具約束力的大宗金屬；有鋁替代方案
鎳	35	1.5×	2.5×	4.0×	品位分佈最差；深海備份
鈷	38	1.7×	2.5×	4.0×	正從電池中被剔除；深海備份
稀土 (Dy)	>230	1.7×	4.0×	7.0×	成本在於過量生產不需要的 REE
鉑族金屬 (Ir)	100	1.7×	4.0×	7.0×	嚴重集中；有替代方案

對增長率的總體影響取決於這些金屬在採礦部門資本需求中的權重。採礦業約佔投資供應鏈的 4%。增長型經濟由鋼鐵（鐵）主導，其面臨的枯竭微乎其微。銅可能是單一最重要的約束：在 2 倍經濟下，它可能使總體採礦資本密集度倍數增加約 0.2 倍；在 5 倍經濟下，增加約 0.7 倍。這些轉化為增長率的適度降低（見正文中的敏感性表）。

C.2 化石燃料

金屬是累積的：幾乎所有開採出來的銅仍在使用中。資本存量翻倍需要再次開採大約同樣多的銅，你可以從品位-噸位曲線中讀出成本。石油和天然氣大多是被消耗掉的。只有一小部分歷史開採量體現在當前的資本存量中，作為建造建築、製造設備、冶煉鋼鐵和生產水泥所投入的能源。其餘部分則在流動用途中被燒掉：運輸、供暖、消費用電。

因此，相關的問題是：建造 2 倍經濟的資本存量需要開採多少石油？（嚴格來說，馮·諾依曼增長路徑僅縮放與自我複製相關的資本財部門，而非整個經濟。這裡我們使用經濟翻倍作為增長是否能在幾次翻倍中持續的粗略指標，但我們（尚未）考慮這種轉型的動力學。）

石油

截至 2024 年，全球累計石油開採量為 15,720 億桶。總可採資源量為 31,000 億桶，其中剩餘 15,000 億桶。在相關時期內，全球固定資本形成總額平均佔 GDP 的 25%，且資本形成部門的單位美元能源密集度比經濟平均水平高 1.5-2 倍。累計石油消耗量中約有三分之一用於建造目前存在的資本存量：約 5,000 億桶。

供應成本曲線特徵明確。中東陸上常規石油損益平衡點為 27 美元/桶，深海 43 美元，北美頁岩油 55 美元，油砂 65 美元，北極 90 美元。今天的 1 億桶/日平均需要 45 美元/桶。隨著供應轉向油砂、北極和依賴 EOR 的資源，曲線在 1.1 億桶/日以上變得陡峭。

2 倍經濟需要約 5,000 億桶石油體現在新資本中，加上建設期間的流動消耗（運輸、化學原料、尚未電氣化的工藝熱能）。總計約 7,000-10,000 億桶。相對於剩餘的 15,000 億桶，這是可行的，但會使累計開採量從 51% 增加到 70-80% 的枯竭程度，進入成本曲線昂貴的部分。每桶資本密集度大約翻倍。

5 倍經濟總共需要約 25,000-35,000 億桶。在目前技術下剩餘 15,000 億桶的情況下，這是不可能的。即使油母質頁岩變得可行（可能增加約 10,000-15,000 億桶可採資源），5 倍經濟也處於地質可行性的邊緣，且資本密集度僅在當前水平的 3-5 倍，EROI 接近最低可行閾值。

在任何關於石油資源的假設下，10 倍經濟都是不可能的。

天然氣

截至 2024 年，全球累計天然氣開採量約為 150 兆立方公尺 (Tcm) (BGR (2017); Energy Institute (2024))。總剩餘技術可採資源量約為 790 Tcm，其中常規 460 Tcm，非常規 330 Tcm (IEA (2012))。總量的 16% 已被消耗，而石油為 51%。天然氣更多地偏向供暖和住宅用途，因此體現份額較低：約為四分之一而非三分之一，即約 38 Tcm 體現在當前資本存量中。

2 倍經濟總共需要約 75 Tcm。相對於剩餘的 790 Tcm，這幾乎沒有使累計開採量進入成本曲線的肩部。單位天然氣的資本密集度上升約 1.3 倍。5 倍經濟需要約 300 Tcm，使累計開採量達到總量的約 48%（與石油現狀相當）。資本密集度大約翻倍。10 倍經濟需要約 675 Tcm，使累計開採量達到 88%。這處於地質極限，但並非像石油對 5 倍經濟那樣絕對不可能；資本密集度將是當前水平的 3-4 倍。

天然氣的空間遠大於石油。地質約束僅在 8-10 倍左右開始顯現。

煤炭

累計煤炭開採量約為 4,000 億噸 (Bt)。總可採資源量超過 100,000 億噸；探明儲量為 10,550 億噸 (Energy Institute (2024))。三分之一體現在資本中，即 1,300 億噸。煤炭可以支持當前資本存量的許多倍，而不會受到地質約束。

成本縮放機制是從露天開採向地下開採的轉變。粉河盆地露天礦的生產成本為 11 美元/短噸，生產率為每工時 29 噸。阿帕拉契地下礦的成本超過 60 美元/短噸，生產率為每工時 2.4 噸：生產率差距達 12 倍。深度會加劇懲罰：成本從 200 公尺到 1,000 公尺大約翻倍。在中國，平均採礦深度為 600 公尺，並以每年 15 公尺的速度增加；超過一半的剩餘資源位於 1,000 公尺以下。隨著開採逐漸加深且煤層變薄，資本密集度在 2 倍時上升 1.5 倍，5 倍時 2.5 倍，10 倍時 4 倍。

總結

燃料	累計開採量	剩餘可採量	體現在資本中	2倍	5倍	10倍
石油	15,720 億桶	15,000 億桶	5,000 億桶	2×	不可能	不可能
天然氣	150 Tcm	790 Tcm	38 Tcm	1.3×	2×	3–4×
煤炭	400 Bt	96,000+ Bt	130 Bt	1.5×	2.5×	4×

石油無法提供建造超過當前資本存量約 2 倍所需的能源。天然氣的空間要大得多：地質約束僅在 8-10 倍左右開始顯現，因為總量僅消耗了 16%，而石油為 51%。在任何合理的經濟規模下，煤炭在地質上都不受限制。這些估計不包括油母質頁岩（全球原位儲量約 6 兆桶，其中約 1 兆桶在極高成本下技術可採），也不考慮未來的發現或開採技術的改進。

C.3 電氣化

石油和天然氣無法支持超過當前資本存量約 2 倍的規模。增長的問題在於，用太陽能、風能和電池取代化石燃料發電是否會顯著減緩經濟的自我複製率。

我們根據 NREL ATB 成本基準數據構建顯式發電部門，將每種技術的資本成本分解為 BEA IO 商品（例如，太陽能模組分解為電子產品，風力塔分解為原金屬，電池單元分解為原金屬 + 電子產品），並在 IO 模型中取代化石燃料發電。所有部門的化石燃料中間投入歸零，並以 3:1 的效率比轉向電力，反映了電動機相對於燃燒的熱力學優勢。這使總電力需求增加了 1.42 倍。

再生能源發電的資本密集度高於目前的電力組合（60/30/10 太陽能/風能/電池組合為 $k=15$，而目前以化石燃料為主的電網為 7.6），但資本是由經濟已經擅長生產的商品組成的：鋼鐵、電子產品、電氣設備、金屬製品和建築。使用 NREL ATB 2024 中度預測，在緊急利用率和中心勞動力成本估計下：

技術	2023	2030	2035
太陽能	0.71	0.77	0.82
太陽能 + 4小時電池	0.47	0.56	0.60
風能	0.67	0.75	0.76
核能	0.59	0.60	0.61
化石燃料基準		0.82
化石燃料 + 5倍油氣		0.60

每一行都想像整個電網被單一技術取代。真實的電網混合了多種來源，且需要此處未建模的儲能、輸電和備份。沒有儲能的太陽能無法獨立調度，而加入電池會顯著降低增長率。無論採用何種方法，使用當前技術的純電氣化電網的增長速度都不會比依賴化石燃料的電網慢多少，且隨著技術進步，差距正在縮小。

• 這是大道定理 (turnpike theorem)：在任何長期最佳計劃中，計劃者最好能達到最大增長率，並在計劃期的大部分時間內保持在該速率上。我們將在第 2 部分進一步討論這一點。↩︎

• 「AGI」沒有統一的定義。我寬泛地使用這個術語，指代能夠在整個經濟中替代人類勞動力的 AI。這裡計算的增長率主要取決於商品生產部門（製造業、建築業、採礦業、公用事業）的自動化，而非所有可以想像的任務的自動化。↩︎

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