數量級的奧秘：使用半音而非分貝
我要教你一個祕訣，一個鮮為人知、利用大腦非數學區域來處理數學的方法。這是我在腦中計算對數的方式，透過將比例與規模對應到音樂音程上來思考。
我要教你一個秘密。這是一個極少數人知道的秘密，一種利用大腦中並非為數學而生的部分……來處理數學的方法。這是我（某種程度上）在腦中計算對數（logarithms）的方法之一。這是一項幾乎沒什麼實際用途的技能。
增長率是多少？翻倍時間是多少？它大了多少個數量級？按這個速度，要多少年才能翻五倍？
這些全都是關於比例和尺度的問題。
尺度……嗯。
「等等」，你心想，「讓我確認一下日期……」。的確如此。但請聽我說完關於對數的部分。
作為比例的音樂音程，以及上帝的玩笑
如果你像我一樣是個音樂發燒友，你會知道「八度」（縮寫為 8ve）這個基本的音樂音程，代表頻率翻了一倍。因此，如果 A440 是 440Hz，那麼 220Hz 和 880Hz 也同樣是「A」。我們的耳朵傾向於將其聽作「同一個音，只是音高不同」。
這意味著「相同」的音程（八度），對應的是連續擴大的頻率間隙。首先是翻倍，然後是四倍、八倍，依此類推。我們的感知和樂譜標記，是以對數方式映射頻率空間的。
你也會知道「純五度」的比例是 3:2。從 A 到上方的 E，從 C# 到上方的 G# 等等。協和感完全取決於漂亮的比例！（去問問畢達哥拉斯吧。）
至少，真正悅耳、音準正確的五度是這個比例。因為上帝絕對是個愛開玩笑的人，你可以不斷地以五度（$1.5^n$）和八度移動，並獲得十一次「新音符」。這就是我們西方音階最初的來源（雖然它最初的最初可能源自美索不達米亞）。第十二次（$1.5^{12}$）會讓你得到大約 $129.75$ 的比例。這幾乎精確地等於七次翻倍，即七個八度（$2^7$）！那會是 $128$。上帝的玩笑就在這大約 1% 的差距中，而音樂家們幾個世紀以來一直在爭論該如何處理它。這是一門大學問。
^([1])
長話短說，這讓我們擁有了十二個不同的音符來劃分一個八度。它們會「循環」，在更高或更低的八度（頻率完全翻倍）處不斷出現「相同」的音符。
在八度之間，這十二個劃分需要「相加」成一個翻倍。出於某些原因，兩個音階步長（整個音階的六分之一）被稱為「全音」（tone），而單個步長（音階的十二分之一）因此被稱為「半音」（semitone）。這意味著每個半音對應的比例是 $\sqrt[12]{2}$，即 2 的 12 次方根。（大約是 1.06，即比例增加約 6%。）如上所示的完整音階被稱為「半音階」（chromatic，因為它包含了每一種「顏色」……）。
這意味著 2 的整齊分數次方能乾淨地映射到音樂音程上。上帝很慷慨地給了 12 很多因數，所以我們免費獲得了對應 2 的平方根、立方根、四次方根、六次方根和十二次方根的音樂音程。
到目前為止，還沒用到對數。但我們擁有了 2 的「音樂次方」：給我一個分數，我就能告訴你音樂音程。這意味著我們也擁有了「音樂對數」：給我一個音樂音程，我就能告訴你 2 的幾次方！例如：C 到 G# 是八個半音。所以 $2^{8/12} \approx 1.6$。
音樂對數？他在說什麼？這肯定毫無意義。沒錯，確實如此！先別走！
泛音列（Harmonic series）
如果你像我一樣是個銅管樂愛好者，你會知道大多數自然振動的「泛音」對應於「泛音列」（不，不是數學上的那個調和級數，而是音樂上真正的泛音列），也就是如果你給予適當的激勵，一根大金屬管可以產生的不同振動音高。順便提一下，這就是銅管演奏者如何從（通常）只有三個活塞的樂器中吹出幾十個不同音符的方法
^([2])
。
這個泛音列是由優美的整數比例產生的！為什麼？因為振盪器的物理特性。整數倍頻是唯一能在同一個振動體（空氣柱、琴弦、薄膜）上維持駐波的頻率。
銅管演奏者花費大量的時間在這些泛音之間滑動和跳躍，這是出於絕對的必要。因為只有三個活塞！
^([3])
所以我們對它們瞭如指掌，銘記於心、於指、於耳。
結合泛音列與半音階：奇蹟發生
現在我們有了「整數倍數」（泛音列），疊加在一個本質上是「對數尺度」的半音階（由十二個半音組成）之上。
音符上方的數字對應於與現今常用的等程半音之間的微小調整，用以處理上帝的玩笑。如果你不在意微小的百分比誤差，可以忽略它們。這是以 C 為基準的泛音列；你可以從任何起始音開始，得到相同音程的系列。
這就是魔術所在。現在我們可以從任意比例轉換為音樂音程！
從簡單的開始：1.25。這是一個比例 $5/4$。第五泛音是 E（+2 個八度）。第四泛音是 C（+2 個八度）。八度抵消了。這是一個大三度音程，即四個半音。所以 1.25 就是四個半音。我們已經知道四個半音的「音樂對數」是 $2^{4/12} = 2^{1/3}$。用計算機檢查一下：$\sqrt[3]{2} \approx 1.26$。我承諾過很接近，沒說完美！
再試一個稍微難點的：1.8。這是比例 $9/5$。第九泛音是 D（+3 個八度），第五泛音是 E（+2 個八度）。八度部分抵消（剩下一個八度）。音程 $D/E$ 是負兩個半音。從剩餘的八度（12 個半音）中減去，剩下十個半音。所以 $1.8 \approx 2^{10/12}$。計算機檢查：$2^{5/6} \approx 1.78$。還不賴！
事實證明，音樂泛音列暗中就是一個以 2 為底的對數微型對照表。
如果非要用 10 為底的話
主流大眾常用於分數對數的單位是分貝（decibel）。分貝將一個以 10 為底的數量級分為十份。所以 10 分貝是十倍，20 分貝是百倍，依此類推。
同樣地，一個半音將一個以 2 為底的數量級分為十二份。
在另一個宇宙巧合中，$2^{10} \approx 10^3$。所以 120 個半音基本上等於 30 分貝，換算率很簡單：每分貝四個半音。
所以呢？
聽著，這很有趣，而且能讓我得到相當精確的對數近似值。這對於「爵士風格」的費米估算（Fermi estimation）來說已經足夠了。這對誰有用？我堅持認為，音樂和數學愛好者的交集出乎意料地大。如果你是其中之一，不客氣。如果不是，我不確定在腦中安裝泛音列有多容易。也許這只對少數在童年接受過訓練的怪胎開放。
還有一些關於 2 的次方和對數的其他有趣技巧。例如，如果你熟悉二進位位值，你就可以算出極大數字的對數（這裡 $2^{10} \approx 10^3$ 的技巧也派得上用場）。
還有一個「72 法則」，在處理微小百分比增長率和翻倍時間時很有幫助。
我從美學上喜歡這種將翻倍劃分為十二部分的簡潔感，而且調用那些本不該對數學有幫助的音樂直覺是一件很有趣的事。
你可能會抱怨十二進位很麻煩。到底是誰在用十二進位？全世界的人都在用十進位好嗎！好吧，關於這一點，我有一些別的東西想跟你分享……