市場邏輯 I

Garrabrant 歸納（Garrabrant Induction）為計算不確定性下的推理提供了一個看似合理的草圖，其核心要點是「建立一個預測市場」。由此產生了一種對古典機率論的近似。然而，這僅僅是因為我們假設了古典邏輯。 論文中的 Garrabrant 歸納版本透過允許對市場可見語句的所有布林組合進行投注來實現這一點。較早的草案則透過特殊的套利規則實現了同樣的效果，例如：如果你擁有 15 份 S，且擁有 15 份 ¬S，那麼你可以向市場莊家換取 15 份一美元。（例如，如果目前 S 份額的價格是 50¢，而 ¬S 份額的價格是 45¢，那麼你可以透過購買 15 份兩者的份額（成本 10¢+9¢=19¢）並向市場莊家兌換 20¢ 來進行套利。）這迫使市場對所有 S 都趨向於價格(S) + 價格(¬S) = $1，從而模擬古典機率。對於其他邏輯連接詞也可以制定類似的套利規則。

這就其功能而言是很不錯的，但這意味著 Garrabrant 歸納並沒有為近似古典機率論或古典邏輯提供任何規範性證據。 這些是內置的假設，而不是從優美的數學中自然產生的條件。

Sam Eisenstat（私下）制定了一個基於直覺主義邏輯的 Garrabrant 歸納版本。其結果並不要求一個語句及其否定的價格之和為 1（並且還違反了我們對機率的其他一些預期）。它具有一個良好的性質：在排中律 S∨¬S 的條件下，我們可以恢復古典機率。（這是一個自然想要的結果，因為直覺主義邏輯加上排中律 = 古典邏輯。）

這留下了一個懸而未決的問題：如果我們讓數學說話，而不是強加某種邏輯，那麼會自然產生什麼樣的邏輯？

以下內容修改了 Sam Eisenstat 的一項提議，並從昨天的文章中汲取了靈感。

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為了這項研究奠定基礎，我將勾勒出類似於 Garrabrant 歸納的東西，但避免內置特定的邏輯。

我不會一路定義出一個完整的可計算事物。事實上，我甚至不會完整地定義所有內容。由於 Inkhaven 的時間緊迫，我正在進行這項工作，所以我稍後可能需要回來修正數學部分。歡迎提出問題/疑慮/修正。

讓我們首先想像存在一些市場商品。我腦海中浮現的是類似於 Skyrms 的《歷時一致性與激進機率論》（Diachronic Coherence and Radical Probabilism）中的設定：市場商品可以是任何東西，也就是說，不先驗地侷限於「命題」。然而，為了保證不動點的存在（如在 Garrabrant 歸納中），我確實需要要求價格被限制在某個範圍內。為簡單起見，我規定所有市場商品具有相同的價格範圍，即 [0,1]。我將使用美元，因此任何商品的最高價格為 $1，價格通常以美分表示。對於任何可以購買的商品，也可以購買該商品的零碎份額。經濟中的總貨幣量也被限制在 $1，因此每個人的淨資產都以美分為單位。

時間以天為單位進行。在特定的一天，市場莊家為所有市場商品設定價格，然後交易者觀察價格並決定買入或賣出多少。^([1]) 所有交易都通過市場莊家進行。

在特定的一天，交易者的策略是其從價格到買賣訂單的函數。策略被要求是 Kakutani（基本上是：連續函數）。^([2]) 市場莊家非常了解交易者，可以完美預測總交易量（僅限當天，而非未來幾天），並設定價格使其沒有風險敞口（無下行風險）。^([3]) 由於 Kakutani 不動點定理，這是可能的。然而，交易者不需要如此全知。事實上，他們不需要在任何意義上是理性的。交易者可以每天以任何他們喜歡的方式更新他們的交易策略。（一個交易者本質上是一系列交易策略。）

市場上的商品數量可以隨著時間的推移而擴大。為簡單起見，我假設第 n 天市場上有 n 種不同的商品。我們也可以想像交易者的數量也會隨著時間增加，第 n 個交易者在第 n 天出現，起始資金為 $1/2^{n+1}$。新交易者也可以隨身攜帶非零數量的其他商品。我們希望假設任何策略最終都會出現（從某個適當豐富的策略類別中提取）。

$ 本質上是商品之一（我們用來定價所有東西的商品）。很自然地假設 $ 在第 1 天出現，並且價格始終為 1。交易者在第 n 天的起始投資組合是從 n 到 R 的函數，表示交易者目前擁有多少第 n 種商品。擁有負數量代表放空（short），這意味著你承諾如果以後有需求就提供該商品。^([4]) 我們在這裡將其表示為對你第 n 天淨資產的負貢獻：交易者的淨資產可以透過將當天起始投資組合中的數量乘以該商品的價格（對所有商品求和）來計算。當天的交易不會改變交易者當天的淨資產，但由於價格變化，淨資產往往會逐日變化。如果交易者能夠預見價格如何逐日變化，並賣出價格將下跌的商品 / 買入價格將上漲的商品，他們的淨資產就會增長。

為了放空商品 G，交易者必須擁有足夠的 $ 來履行其承諾，即使 G 的價格上漲到 $1。因此，如果交易者擁有 −g 份 G，它必須保留至少 $g 的現金。市場莊家將拒絕違反此約束的買賣。市場莊家也不允許交易者購買超過其負擔能力的商品（即 $ 不能變為負數）。

如果你願意，你可以想像商品的價值有時會被「揭露」或「釘住」（就像政府平抑物價一樣），此時市場莊家被告知該商品的價格，並且此後必須永遠保持該價格。這類似於 Garrabrant 歸納中證據的進入。然而，正如我在《判斷》（Judgements）中所討論的，這並非必不可少。^([5])

這裡的目標是在這個市場的運作與邏輯之間建立一個類比。

雖然 Garrabrant 歸納被束縛在古典邏輯上，但我現在以一種（或多或少）中立的方式描述了一個市場。什麼樣的邏輯與這個市場相關，就像古典邏輯與 Garrabrant 歸納相關一樣？

作為一個起點，請注意保證無損失的交易是朝著蘊涵的方向進行的。在這裡，我們感興趣的是那些憑藉交易內容而始終有意義的交易，而不是憑藉當前價格而有意義的交易。例如，如果我有一張證書「如果明天下雨，1 美元歸此證書持有者」，而你有一張證書「如果明天下雨且早上有雲，1 美元歸此證書持有者」，那麼你絕對應該願意用你的證書換取我的，因為我的證書在嚴格更多的情況下能得到 1 美元。這對應於一個事實：合取式蘊涵其任一合取項。

這表明 $ 就像「真」（true），也就是「頂」（top），寫作 ⊤，因為 $ 被保證具有任何商品的最高價格，所以人們應該始終願意接受 1 美元以換取放棄某種商品的份額。

放空顯然就像否定。如果你放空 c 份^([6]) G，那麼你還必須撥出 c 美元作為抵押。因此，與放空相關的投資組合貢獻是 c($1−G)。將此與 Łukasiewicz 邏輯中的否定公式進行比較。

我發現想像市場莊家正試圖提供最大的幫助，促進任何可能的交易，只要這樣做不會引入任何財務風險，是很有幫助的。因此，如果你想要的話，市場莊家會願意給你「如果明天下雨且早上有雲，1 美元歸此證書持有者」，以換取「如果明天下雨，1 美元歸此證書持有者」。

我們需要做的是描述這類事物的空間。

我們的任務是研究金融衍生品的空間。

我們想要指定一個「非常熱心」的市場莊家，即促進廣泛多樣的交易。這些交易隨後將賦予我們邏輯。

金融中的「衍生品」只是一種以某種方式衍生自基礎金融工具的金融工具。例如，如果我們可以投資商品 G，我們也可以押注 G 將高於 5¢。

這篇文章寫得太長了，所以我明天再發布第二部分！（已發布）

• ^(^)你可以將市場莊家視為一種簡單的數學建模選擇，它代表了買家尋找賣家以及大多數時間點價格收斂到微小價差的更混亂過程。

• ^(^)連續函數允許你近似，但永遠無法完美執行諸如「如果 S 的價格低於 3¢ 則買入 1¢，如果價格高於 3¢ 則賣出 1¢」之類的策略。Kakutani 映射允許你精確執行此策略，只要你接受在 3¢ 時的不確定行為。

Kakutani 映射實際上是一個關係，而不是一個函數；我們可以將其視為一個集合值函數。對於每個輸入，輸出集合需要是非空的且是凸的，並且整體關係需要是閉合的（包含其所有極限點）。

• ^(^)例如，假設有兩個交易者 Alice 和 Bob，以及一種商品 G（除了 $ 之外）。Alice 有 70¢ 想要投資於 G，而 Bob 有 30¢ 想要用來放空 G。

市場莊家將 G 的價格設定為 70¢。Alice 買入 1 份 G。這 1 份在未來可能價值高達 $1，因此如果這是唯一發生的事情，市場莊家將有 30¢ 的風險敞口；如果價格上漲到 $1 且 Alice 要求出售該份額，市場莊家可能會損失這麼多。

幸運的是，Bob 正用 30¢ 放空 G。市場莊家支付 Bob 70¢ 以換取一份 G 的反份額^([7])。Bob 現在總共有 100¢，外加一份反份額。這 100¢ 正好足以作為反份額的抵押品，因此這是第二個交易者使用其 30¢ 所能放空 G 的最大數量。

無論 G 的價格如何變化，現在可能欠 Alice 的金額與 Bob 可能欠的金額正好抵消。例如，如果 G 的價格變為 50¢，那麼市場莊家對 Bob 損失了 20¢（Bob 可以透過支付 50¢ 來擺脫反份額，從而領先 20¢）。然而，市場莊家從 Alice 那裡獲得了 20¢ 作為補償。（Alice 以 70¢ 購買了該份額，但現在只能拿回 50¢。）

• ^(^)在目前的公式體系中，這種需求實際上永遠不會被提出；放空的債務直接由它為淨資產增加的負值表示。

想像你在放空黃金，市場莊家說：「別擔心，我會處理實際的黃金交換；人們不必來找你要你承諾的黃金。反正你也得來找我買。相反，他們會來找我，我會給他們黃金。」

你問：「然後你會向我收取他們購買黃金的費用？但當有人來要黃金時，你如何決定向誰收費？你可能會在金價高的一天說輪到我了，從而坑我一筆？」

市場莊家說：「嗯，老實說，我永遠不會向你收費。相反，我會記錄你的債務，我只是不會讓你消費超過你無法償還債務的程度。我根據金價飆升至 $1 的最壞情況來計算這一點。與我交易的其他人知道我可以隨時向你要錢，所以他們知道我是有償債能力的，他們會給我信用，因為他們知道我能負擔得起，就像我給你信用是因為我知道你能負擔得起一樣。」

你回答：「那太糟了！所有交易都必須通過你，這意味著這總是好像你選擇了最糟糕的一天，因為我的有效可用資金就好像放空的結果對我來說盡可能糟糕一樣。那麼放空的意義何在？你給我錢賣出商品，但實際上，你的政策使得我的總金額好像下降了。」

市場莊家：「你可以稍後買入，這會抵消你的放空，只要你希望我根據實際價值而不是最壞情況來承認你的實際淨資產。如果你在認為某物估值過高時放空它，然後在價值降低時買入它，你就賺到錢了。這並不是說我壟斷了貿易；這只是我要求你撥出足夠的錢，以便在我需要時你可以還給我。」

• ^(^)如果我們願意，我們可以進一步想像，任何份額^([6])和反份額^([7])必須立即按給定價值兌現；例如，如果黃金被釘在 20¢，而 Alice 擁有 0.5 份黃金，那麼 Alice 失去她的份額並獲得 10¢。如果 Bob 擁有 0.25 份黃金反份額，那麼 Bob 失去反份額並也失去 5¢。

這樣，放空所代表的債務就會在某個時間點被「追討」。

然而，這實際上是不必要的，因為固定商品的價值具有相同的效果；我們可以讓交易者在閒暇時交易他們的份額和反份額。

同樣，固定份額價格的整個機制也是不必要的。一個足夠富有的交易者可以透過採取一種對抗任何會改變價格的市場壓力的策略，從「市場內部」做到這一點。因此，「來自市場外部的證據」機制僅僅是用於模擬任意富有交易者影響力的一種手段。

• ^(^)這裡使用複數「shares」是取其分數意義，因為交易者幾乎總是購買零碎份額。

• ^(^)反份額（anti-share）就是負份額，即放空。