矩陣在雙積之間的映射

為什麼有限維向量空間之間的線性函數可以用矩陣表示？又為什麼矩陣乘法對應於線性映射的複合？對此存在幾何直覺，例如 3Blue1Brown 所呈現的內容。我將換個角度，提供一個範疇論（category-theoretic）的分析。簡短的版本是：在向量空間與線性映射構成的範疇中，積（product）同時也是餘積（coproduct），因此是雙積（biproduct）；而在具有雙積的範疇中，雙積之間的映射可以分解為（廣義的）矩陣。這些廣義矩陣在向量空間範疇中，與傳統的數值矩陣及矩陣乘法一致。範疇論的視角揭示了矩陣是一種優雅的抽象，這與《紐約客》的觀點相反。

我將使用實數體 R 上的向量空間標準定義。一個向量空間定義了加法、零元素和純量乘法，並具有標準的交換律、結合律與分配律。範疇 Vect 以向量空間（在體 R 上）為對象，並以線性映射為態射。向量空間 U, V 之間的線性映射 f:U→V 滿足 f(u1+u2)=f(u1)+f(u2) 以及 f(au)=af(u)。（進階讀者可參閱 nlab 關於 Vect 的條目）。

顯然，R 是一個向量空間，0（僅包含零元素的向量空間）也是。0 既是初始對象（initial object）也是終端對象（terminal object）。任何從 0 出發的線性映射必須始終返回零向量；任何進入 0 的線性映射亦然。因此，根據定義，0 是範疇論中的零對象（zero object）。

如果 U 和 V 是向量空間，那麼直和（direct sum）U⊕V 也是向量空間，其元素為序對 (u, v)（其中 u∈U, v∈V），且加法與純量乘法皆為逐分量運算。直和既是積也是餘積。

為了證明直和是積，令 U 和 V 為向量空間，並令 π1:U⊕V→U 與 π2:U⊕V→V 為直和對其分量的投影。假設有第三個向量空間 T 和線性映射 f:T→U 與 g:T→V。定義 ⟨f,g⟩:T→U⊕V 為 ⟨f,g⟩(t)=(f(t),g(t))。現在 ⟨f,g⟩ 滿足唯一的交換性：

為了證明直和是餘積，令 U 和 V 為向量空間，並令 i1:U→U⊕V 定義為 i1(u)=(u,0)，同樣令 i2:V→U⊕V 定義為 i2(v)=(0,v)。假設有第三個向量空間 W 和線性映射 f:U→W 與 g:V→W。定義 [f,g]:U⊕V→W 為 f,g=f(u)+g(v)。現在 [f,g] 滿足唯一的交換性：

結論是直和既是積也是餘積。令 0A,B:A→B 為零函數；由於直和還滿足恆等式 π1∘i1=idU, π2∘i2=idV, π1∘i2=0V,U, π2∘i1=0U,V，根據定義它是一個雙積（biproduct）。我們現在可以從 Vect 範疇抽象化到半加法範疇（semiadditive categories），這類範疇的定義是具有零對象和所有兩兩雙積的範疇。令 C 代表任何具有雙積 ⊕ 的半加法範疇。

雙積使得態射（如線性映射）能夠進行強大的分解。給定（C 中的）h:T→U⊕V，我們可以將其唯一分解為 h=⟨f,g⟩，其中 f:T→U 且 g:T→V，具體為 f=π1∘h, g=π2∘h。同樣地，我們可以將 h:U⊕V→W 唯一分解為 h=[f,g]，其中 f:U→W 且 g:V→W，具體為 f=h∘i1, g=h∘i2。

雙積可以從二元推廣到 n 元。假設 n 是自然數，且 Ui 是自然數 1≤i≤n 的對象。則 n 元雙積為 ⨁ni=1Ui=U1⊕…⊕Un。我們將空雙積取為 0。我們也可以將投影 πi、包含映射 ii、「按列」組合 ⟨f,g⟩ 以及「按行」組合 [f,g] 從二元推廣到 n 元。

這種向 n 元雙積的推廣使得我們能從範疇論的角度構思矩陣。令 m, n 為自然數，並令 Ui 和 Vj 為 C 中的對象（1≤i≤m 且 1≤j≤n）。假設 h:⨁mi=1Ui→⨁nj=1Vj。我們首先將 h 「按列」分解為 h=⟨h1,…,hn⟩，其中 hj=πj∘h。然後將每一列「按行」分解為 hj=[hj,1,…,hj,m]，其中 hj,i=πj∘h∘ii。現在我們可以將 h 寫成矩陣形式：h=⟨[h1,1,…,h1,m],…,[hn,1,…,hn,m]⟩；記號 ⟨…⟩ 可以想像為矩陣的垂直拼接，而 […] 可以想像為矩陣的水平拼接。

這是核心的抽象思想，但如何更具體地應用它？回到 Vect，我們可以構造歐幾里得空間 Rn=⨁ni=1R。現在映射 h:Rm→Rn 分解為一個由線性映射 hj,i:R→R 組成的 n×m 矩陣。這還不完全是傳統矩陣，但請注意 R→R 類型的線性映射始終是乘以一個常數實數斜率。用其斜率表示每個 hj,i，便得到了傳統的數值矩陣。

我們可以將線性映射的矩陣表示推廣到有限維向量空間（根據定義具有有限基），方法是注意到這些空間中的每一個都同構於某個自然數 n 的 Rn。具體來說，如果空間 U 具有基 {u1,…,un}，則定義為 f(x1,…,xn)=∑ni=1xiui 的線性映射 f:Rn→U 是一個同構。因此，矩陣表示可以擴展到有限維向量空間之間的映射。

到目前為止，我們處理了矩陣與向量的乘法，但還沒有處理矩陣與矩陣的乘法。我們希望證明線性映射的複合會導致矩陣表示以預期的方式相乘。令 m,n,p 為自然數，並令 Ui,Vj,Wk 為 C 中的對象（1≤i≤m, 1≤j≤n, 1≤k≤p）。假設我們有映射 f:⨁mi=1Ui→⨁nj=1Vj 和 g:⨁nj=1Vj→⨁pk=1Wk。我們可以將 f 寫成矩陣形式（fj,i=πj∘f∘ii），g 亦然（gk,j=πk∘g∘ij）。

現在我們希望找到複合映射 h=g∘f 的矩陣形式。我們固定 i, k 並考慮分量 hk,i=πk∘g∘f∘ii。注意到 πk∘g=[gk,1,…,gk,n] 且 f∘ii=⟨f1,i,…,fn,i⟩。因此：

hk,i=[gk,1,…,gk,n]∘⟨f1,i,…,fn,i⟩

這個表達式是行與列的矩陣乘法，類似於向量點積。在 Vect 的情況下，我們可以更明確地寫成：

hk,i(u)=∑nj=1gk,j(fj,i(u))

由於在 Vect 中，Hom(U,V)（從 U 到 V 的線性映射集合）自然地構成一個向量空間，hk,i 也可以寫成：

hk,i=∑nj=1(gk,j∘fj,i)

在每個 Ui,Vj,Wk 都是 R 的情況下，這與傳統的矩陣乘法一致；複合 R→R 類型的線性映射即為其斜率相乘。

有一種方法可以將行-列矩陣乘法 [gk,1,…,gk,n]∘⟨f1,i,…,fn,i⟩=∑nj=1(gk,j∘fj,i) 推廣到一般的半加法範疇；詳情請參閱 維基百科關於加法範疇的條目。

總結關於半加法範疇的一般經驗：

• 雙積之間的映射 h:⨁mi=1Ui→⨁nj=1Vj 可以表示為矩陣形式 ⟨[h1,1,…,h1,m],…,[hn,1,…,hn,m]⟩，其中 hj,i=πj∘h∘ii。
• 如果我們有映射 f:⨁mi=1Ui→⨁nj=1Vj 和 g:⨁nj=1Vj→⨁pk=1Wk，則複合映射 h=g∘f 的矩陣分量 hk,i 是行-列乘法 [gk,1,…,gk,n]∘⟨f1,i,…,fn,i⟩。

而在 Vect 的情況下，這些推導出了標準結果：

• 具有固定基的有限維向量空間之間的線性映射，被唯一地表示為數值矩陣。
• 線性映射複合後的矩陣表示，等於表示這些映射的矩陣之乘積。

這是一種展示標準結果的優美方式，且這些抽象結果可以推廣到其他半加法範疇，例如阿貝爾群範疇（category of Abelian groups）。關於線性代數更詳細的範疇論研究，請參閱 Filip Bár 的論文 《論幾何代數的基礎》（On the Foundations of Geometric Algebra）。若想了解更抽象的處理方式，請參閱 《圖解線性代數》（Graphical Linear Algebra）。